Approximation affine

Approximation affine de \(\boldsymbol{(1+x)^3}\)  pour  \(\boldsymbol x\)  proche de  \(\boldsymbol 0\)

Nous avons l'habitude d'utiliser des valeurs approchées de nombres réels, par exemple `\pi \approx 3,14` . Lorsqu'on travaille avec une fonction `f` définie sur un intervalle `I` et dérivable en `a` , nombre réel appartenant à `I` , il existe une démarche similaire pour approximer `f` . Elle permet d'approcher les valeurs `f(x)` , pour `x` proche de `a` , par les images d'une fonction affine. Ce procédé s'appelle approximation affine.
La figure suivante montre un exemple : la droite rouge représente l'approximation affine de la fonction représentée par la courbe verte autour de `\text{0` .

En zoomant à l'intérieur du cercle pointillé, on remarque que les images des réels proches de  `\text{0` par la fonction affine sont proches de celles obtenues par la fonction `f` , comme montré dans la figure suivante.

L'objectif de cette exercice est de déterminer l'approximation affine de la fonction `f`  définie sur  `\mathbb(R)` par `f(x)=(1+x)^3` pour  `x`  proche de  `0` .

1. Justifier que la fonction `f` est dérivable en `x=0` puis calculer `f'(0)` .

2. Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe de  `f`  au point \(​\text A\)  d'abscisse  `1` .

3. Cette droite est la représentation graphique d'une fonction affine `g` , approximation affine de  `f`  au voisinage de  `0` . Compléter la phrase suivante :
Lorsque `x` est proche de `\text{0}` , `(1+x)^3\approx...`

4. En utilisant l'approximation affine trouvée, déterminer une valeur approchée de `f(0,03)` .

5. Calculer  `f(0,03)-g(0,03)` . Que représente cette quantité dans le contexte de l'approximation affine ?

6. Pour tout `x` proche de `\text{0}` , on définit la fonction `e` par `e(x)=f(x)-g(x)`  ; cette fonction est appelée « fonction d'erreur ». Expliquer pourquoi elle s'appelle ainsi, puis déterminer l'expression de  `e(x)` en fonction de  `x` .

 7. En suivant le même plan de travail, déterminer l'approximation affine en  `\text{0}` de la fonction définie par : `f(x)=x^4-x^3+2` .